算命笔记

1. 傅里叶级数 Fourier Series (FS)

傅里叶级数得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶，他提出任何函数都可以展开为三角级数。

考虑一个在区间 $[t_0, t_0+T]$ 上可积的函数 $f(t)$，其傅里叶级数为

$f(t) = \dfrac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\dfrac{2\pi n}Tt + b_n\sin\dfrac{2\pi n}Tt\right) \tag{1}$

其中

$a_n = \dfrac2T\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cos\dfrac{2\pi n}Tt\mathrm{d}t, n=0, 1, 2, \cdots \tag{2}$

$b_n = \dfrac2T\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\sin\dfrac{2\pi n}Tt\mathrm{d}t, n=1, 2, \cdots \tag{3}$

由欧拉公式 $\mathrm{e}^{i\theta} = \cos\theta+i\sin\theta$ 得

$\begin{aligned} \cos\theta &= \dfrac12\left(\mathrm{e}^{i\theta}+\mathrm{e}^{-i\theta}\right)\\ \sin\theta &= -\dfrac i2\left(\mathrm{e}^{i\theta}-\mathrm{e}^{-i\theta}\right) \end{aligned} \tag{4}$

代入（1）可得

指数平滑（Exponential smoothing）是除了 ARIMA 之外的另一种被广泛使用的时间序列预测方法（关于 ARIMA，请参考 时间序列模型简介）。 指数平滑即指数移动平均（exponential moving average），是以指数式递减加权的移动平均。各数值的权重随时间指数式递减，越近期的数据权重越高。常用的指数平滑方法有一次指数平滑、二次指数平滑和三次指数平滑。