随机变量之和的概率分布：卷积定理的简单应用

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我们在《一个最大化条件概率问题》一文中提到，为了满足商品采购业务的需要，我们首先预测每一天的需求所服从的概率分布，然后计算若干天总需求所服从的概率分布。那么，如何将日需求的分布转化为总需求的分布呢？

方法

考虑一组独立的随机变量 X1,X2,⋯ ,XnX_1, X_2, \cdots, X_n，令

Sn=∑i=1nXiS_n=\sum_{i=1}^{n} X_i

则

Sn=Sn−1+XnS_n = S_{n-1} + X_n

也就是说，多个随机变量的和总可以还原回两个随机变量的和的情况。因此，我们只需要知道如何计算两个随机变量的和的分布就可以了。

假设 XX 和 YY 是两个独立的随机变量，令 Z=X+YZ=X+Y。

  • 若 XX 和 YY 是离散型随机变量，则 ZZ 的概率质量函数为 XX 的概率质量函数与 YY 的概率质量函数的离散卷积：

P(Z=z)=∑k=−∞+∞P(X=k)⋅P(Y=z−k)P(Z=z) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}P(X=k)\cdot P(Y=z-k)

  • 若 XX 和 YY 是连续型随机变量，则 ZZ 的概率密度函数为 XX 的概率密度函数与 YY 的概率密度函数的卷积：

fZ(z)=∫−∞+∞fX(x)fY(z−x)dx≡fX∗fYf_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\mathrm dx\equiv f_X*f_Y

卷积怎么算呢？根据定义直接算，可以，但没必要。复习一下卷积定理：

函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。

对于离散型随机变量，我们只需要用 FFT 算法计算 XX 和 YY 的概率质量函数的离散傅里叶变换，然后作乘积，再作一次逆变换，即可求得 ZZ 的概率质量函数。对于连续型随机变量，则可以先离散化，然后用上述方法近似求解 ZZ 的概率密度函数。

作为调包工程师，我们直接调用 scipy.signal.fftconvolve 实现来上述操作。

例子

我们来验证一下。

假设 X∼N(30,102)X\sim N(30, 10^2)，Y∼N(60,52)Y\sim N(60, 5^2)，则 Z∼N(90,102+52)Z\sim N(90, 10^2+5^2)。

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm
from scipy.signal import fftconvolve

x = norm.pdf(np.arange(100), loc=30, scale=10)
y = norm.pdf(np.arange(100), loc=60, scale=5)
z = norm.pdf(np.arange(200), loc=90, scale=np.sqrt(125))
z_tilde = fftconvolve(x, y)

plt.subplot(121)
plt.plot(x, color='b', label='pdf of X')
plt.plot(y, color='g', label='pdf of Y')
plt.legend()
plt.subplot(122)
plt.plot(z, color='r', label='analytical pdf of Z')
plt.plot(z_tilde, color='y', label='numerical pdf of Z')
plt.legend()
plt.show()

再看一个例子。

考虑一组独立的随机变量 X1,X2,⋯ ,X100X_1, X_2, \cdots, X_{100}，满足 Xi∼Bernoulli(0.3)X_i\sim Bernoulli(0.3)，即每个 XiX_i 均服从成功概率 p=0.3p=0.3 的伯努利分布。令 Z=X1+X2+⋯+X100Z=X_1+X_2+\cdots+X_{100}，即 ZZ 是 100 次独立重复试验中成功的次数。根据定义，ZZ 服从二项分布。

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import binom
from scipy.signal import fftconvolve
from functools import reduce

xs = [[0.7, 0.3] for _ in range(100)]
z = binom.pmf(np.arange(100), n=100, p=0.3)
z_tilde = reduce(fftconvolve, xs)

plt.plot(z, label='analytical pmf of Z')
plt.plot(z_tilde, label='numerical pmf of Z')
plt.legend()
plt.show()

最后看看实际计算总需求时的效果：

附录

附上卷积定理的简单推导：

考虑函数 f(t)f(t) 和 g(t)g(t)，以及它们的卷积 h=f∗gh=f*g。f(t)f(t) 和 g(t)g(t) 的傅里叶变换分别为

f^(ω)=∫−∞+∞f(t)e−iωtdt\hat f(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm e^{-i\omega t}\mathrm dt

g^(ω)=∫−∞+∞g(t)e−iωtdt\hat g(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}g(t)\mathrm e^{-i\omega t}\mathrm dt

而 h(t)h(t) 的傅里叶变换为

h^(ω)=∫−∞+∞h(t)e−iωtdt=∫−∞+∞[∫−∞+∞f(τ)g(t−τ)dτ]e−iωtdt=∫−∞+∞∫−∞+∞f(τ)g(t−τ)e−iωtdtdτ\begin{aligned} \hat h(\omega) &= \int_{-\infty}^{+\infty}h(t)\mathrm e^{-i\omega t}\mathrm dt\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(t-\tau)\mathrm d\tau\right]\mathrm e^{-i\omega t}\mathrm dt\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(t-\tau)e^{-i\omega t}\mathrm dt\mathrm d\tau \end{aligned}

令 s=t−τs=t-\tau，则 ds=dt\mathrm ds = \mathrm dt，

h^(ω)=∫−∞+∞∫−∞+∞f(τ)g(s)e−iω(τ+s)dsdτ=∫−∞+∞f(τ)e−iωτdτ∫−∞+∞g(s)e−iωsds=f^(ω)⋅g^(ω)\begin{aligned} \hat h(\omega) & = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(s)e^{-i\omega (\tau+s)}\mathrm ds\mathrm d\tau\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)e^{-i\omega \tau}\mathrm d\tau\int_{-\infty}^{+\infty}g(s)e^{-i\omega s}\mathrm ds\\ &=\hat f(\omega)\cdot\hat g(\omega) \end{aligned}

参考文献